62. 不同路径 (opens new window)

Description

Difficulty: 中等

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一个机器人位于一个 m x n网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1\. 向右 -> 向下 -> 向下
2\. 向下 -> 向下 -> 向右
3\. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10⁹

Solution

Language: JavaScript

/**
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 * 思路：
 * 每一格的路径由其上一格和左一格决定。
 * 方法：动态规划
 * 动态方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
 * 注意：对于第一行 dp[0][j]，或者第一列 dp[i][0]，由于都是在边界，所以只能为1
 * 建立m*n的矩阵，注意第0行和第0列元素均为1
 * 按列依次遍历矩阵，当前格的路径数量由其左边和上面格的路径数量决定
 * 返回最后一个格的路径数量
 * 优化
 * 只用长度为n的列表记录路径
 * 使用一个长度为n的列表记录路径
 * 将自身与上一格的路径相加得到右一格
 */
// m是列， n是行
var uniquePaths = function(m, n) {
 const dp = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0))

 for (let i = 0; i < m; i++) {
  dp[i][0] = 1
 }

 for (let j = 0; j < n; j++) {
  dp[0][j] = 1
 }

 for (let i = 1; i < m; i++) {
  for (let j = 1; j < n; j++) {
   dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
  }
 }

 return dp[m-1][n-1]
}

// 方法二：组合数学
var uniquePaths = function(m, n) {
    let [x, y, ans] = [n, 1, 1];
    
    while (y < m) {
        ans = Math.floor(ans * x / y)
        y++;
        x++;
    }
    
    return ans;
};